Урок 10. Умножение двузначных чисел | Ментальная арифметика онлайн

Умножение двузначных чисел | Онлайн-тренажёр

Упражнение считается выполенным после 7 правильных ответов

Норма выполнения упражнения - 3 минуты

Для успешного выполнения упражнения ознакомьтесь с теорией и проработайте предыдущие уроки

Умножение двузначных чисел | Теория

В общем случае умножение в уме двузначных чисел удобно выполнять в следующем порядке:

  1. за базовое (первое или находящееся слева) число примите число с наибольшей второй цифрой;
  2. умножьте базовое (первое) двузначное число на десятки другого (второго) двузначного числа;
  3. умножьте базовое (первое) двузначное число на единицы другого (второго) двузначного числа;
  4. сложите два результата.

Задача: 42 x 36

Решение:

1) 36 x 42 (число 36 принято за базовое (первое) число, так как 6>1)

36 x 42(40+2)

2) 36 x 40 = (30+6) x 4 x 10

 30 x 4 = 120; 6 x 4 = 24; 120 + 24 = 144[120+20=140;140+4=144]; 144 x 10 = 1440*

3) 36 x 2 = (30+6) x 2

 30 x 2 = 60; 6 x 2 = 12; 60 + 12 = 72[60+10=70;70+2=72]

4) 1440 + 72 = 1752 [1440+70=1510;1510+2=1512]

Задача: 47 x 52

Решение:

1) 47 x 52 (число 47 принято за базовое (первое) число, так как 7>2)

2) 47 x 50 = 2350

3) 47 x 2 = 94

4) 2350 + 94 = 2444

Если одно из чисел заканчивается на 9, то задачу удобнее решать в следующем порядке:

  1. за второе (находящееся справа) число примите число, заканчивающееся на 9;
  2. округлите второе число в большую сторону до десятков, прибавив к нему 1;
  3. умножьте первое число на округлённое второе число;
  4. вычтите из результата пункта 3 первое число.

Задача: 39 x 56

Решение:

1) 56 x 39 (число 39 принято за второе (находящееся справа) число, так как оно заканчивается на 9)

2) 56 x 39(40-1)

3) 56 x 40 = (50+6) x 4 x 10

 50 x 4 = 200; 6 x 4 = 24; 200 + 24 = 224; 224 x 10 = 2240

4) 2240 - 56 = 2184[2240-50=2190;2190-6=2184]

Если одно из двузначных чисел равно 11, то решить такую задачу будет намного проще, если вы воспользуетесь методикой, изложенной в Уроке 1.

Во многих случаях решение задачи умножения двузначных чисел в уме намного упрощается, если воспользоваться методом факторизации.

Факторизация - это преобразование числа в произведение более простых чисел. Например, число 24 можно преобразовать в произведение 8 и 3 (24 = 8 x 3) или 6 и 4 (24 = 6 x 4). Число 24 также можно представить в виде произведения 12 и 2 (24 = 12 x 2), но при выполнении арифметических операций в уме удобнее иметь дело с однозначными числами.

Отдельные двузначные числа также можно представить в виде произведения трёх однозначных чисел. Например, 84 = 7 x 6 x 2 = 7 x 4 x 3.

Решим задачу умножения с помощью факторизации.

Задача: 34 x 42

Решение:

Факторизация числа 24 даёт 8 и 3 или 6 и 4. Для решения задачи представим число 24 в виде произведения 6 и 4, но, если вам удобнее, вы можете выбрать произведение 8 и 3.

34 x 24(6x4)

Умножаем первое число на 6, после чего умножаем результат на 4:

34 x 6 = 204[30x6=180;4x6=24;180+24=204]

204 x 4 = 816[200x4=800;4x4=16;800+16=816]

Чтобы знать, какие из двузначных чисел поддаются факторизации, необходимо тщательно изучить таблицу умножения. Можно выписать все двузначные числа, поддающиеся факторизации, с указанием возможных способов их факторизации.

Если оба из перемножаемых двузначных чисел поддаются факторизации, то в большинстве случае удобнее факторизовать меньшее число.

Задача: 36 x 72

Решение:

Число 36 можно представить в виде произведения 6 и 6, а число 72 - в виде произведения 9 и 8.

Так как 36 < 72, то удобнее факторизовать число 36.

72 x 36(6x6)

72 x 6 = 432[70x6=420;2x6=12;420+12=432]

432 x 6 = 2592[400x6=2400;30x6=180;2x6=12; 2400+180=2580;2580+12=2592]

Пример с факторизацией на три числа.

Задача: 57 x 75

Решение:

75 = 5 x 5 x 3

57 x 75(5x5x3)

57 x 5 = 285

285 x 5 = 1425

1425 x 3 = 4275

В случае, если одно из перемножаемых двузначных чисел состоит из одинаковых цифр (22, 33, 44 и т.д.), то его удобнее факторизовать на 11 и 2, 3, 4 и т.д.), так как умножение на 11 не представляет труда, как было показано в уроке 11.

Задача: 81 x 44

Решение:

81 x 44(11x4)

81 x 11 = 891;

891 x 4 = 3564

Если числа близки по значению с круглым числом, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.

Задача: 67 x 64

Решение:

(60 + 7) x (60 + 4) = (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 = 71 x 60 + 28 = 4260 + 28 = 4288

Задача: 39 х 38

Решение:

(40 - 1) x (40 - 2) = (40 - 1 - 2) x 40 + 1 x 2 = 37 x 40 + 2 = 1480 + 2 = 1482

Задача: 41 x 38

Решение:

(40 + 1) x (40 – 2) = (40 + 1 – 2) x 40 + 1 x 2 = 39 x 40 - 2 = 1558

Умножение двузначных чисел, первые цифры (десятки) которых равны, а вторые цифры (единицы) дают в сумме 10, удобнее производить в следующем порядке:

  1. умножьте первую цифру двузначных чисел на эту же цифру, увеличенную на единицу;
  2. перемножить вторые цифры двузначных чисел;
  3. поместите один за другим результаты пункта 1 и пункта 2.

Задача: 76 x 74

Решение:

1) 7 x 8 = 56

2) 6 x 4 = 24

3) 5624

Не расстраивайтесь и не сдавайтесь, если на первых порах у вас возникнут трудности с умножением двузначных чисел. Для уверенного выполнения такой операции в уме необходима практика, а также творческий подход.

* Для запоминания в уме промежуточных результатов вычислений можете применять мнемотехники, основанные на ассоциации цифр с образами.

** Доказательства формул путём преобразования: (C+a)(C+b) = (C+a)C+(C+a)b = C2+Ca+Cb+ab = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a)C-(C-a)b = C2-Ca-Cb+ab = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a)C-(C+a)b = C2+Ca-Cb-ab = (C+a-b)C-ab.

*** Доказательство метода: согласно формуле, применяемой в предудущем методе (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; так как a+b=10, то (C+a)(C+b) = (C+10)C+ab; поскольку произведение двузначных круглых чисел С и С+10 даёт число с двумя нулями на конце, а произведение a и b даёт двузначное число, то для нахождения суммы этих двух выражений достаточно поставить произведение a и b вместо двух последних нулей первого выражения.

Подборка на тему:

НЛП