Урок 14. Возведение двузначных чисел в куб | Ментальная арифметика онлайн

Возведение двузначных чисел в куб | Теория

Возведение в уме двузначного числа X в куб (третью степень) удобно производить по формуле: Х³=(X+Y)X(X-Y)X+XY²*, где Y - число, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.

Задача: 13³

Решение:

Круглое число получается при вычитании 3 из 13. Поэтому за Y принимаем число 3. (X+Y) = 13 + 3 = 16 (X-Y) = 13 - 3 = 10 Подставляем полученные числа в формулу:

13³ = 16 x 13 x 10 + 13 x 3²

Умножение 16 на 13 удобно выполнить с помощью факторизации числа 16.

16 x 13 x 10 = 13 x 4 x 4 x 10 = 52 x 4 x 10 = 208 x 10 = 2080

13 x 3³ = 13 x 9 = 117

2080 + 117 = 2197

Задача: 45³

Решение:

453 = 50 x 45 x 40 + 45 x 5²

50 x 45 x 40 = 45 x 40 x 50 = 1800 x 50 = 90000

45 x 5² = 45 x 5 x 5 = 225 x 5 = 1125

90000 + 1125 = 91125

Задача: 69³

Решение:

69³ = 70 x 69 x 68 + 69 x 1²

Так как числа 69 и 68 близки к круглому числу 70, то их удобно перемножить с помощью формулы (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между круглым числом и перемножаемыми числами (см. урок 10).

 68 x 69 = (70 – 2) x (70 – 1) = (70 – 2 – 1) x 70 + 2 x 1 = 67 x 70 + 2 x 1 = 4690 + 2 = 4692

4692 x 70 = 4692 x 70 = 328440 (см. урок 13)

69 x 1² = 69 x 1 = 69

328440 + 69 = 328509

Задача: 92³

Решение:

92³ = 94 x 92 x 90 + 92 x 2²

Так как числа 94 и 92 близки к круглому числу 90, то их можно перемножить с помощью формулы (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом (см. урок 10).

 94 x 92 = (90 + 4) x (90 + 2) = (90 + 4 + 2) x 90 + 4 x 2 = 96 x 90 + 4 x 2 = 8640 + 8 = 8648

8648 x 90 = 778320 (см. урок 13)

92 x 2² = 92 x 4 = 368

778320 + 368 = 778688

Задача: 96³

Решение:

96³ = 100 x 96 x 92 + 96 x 4²

Перемножить 96 и 92 можно следующими способами (в порядке снижения сложности):

1) Обычное перемножение слева направо: 96 x 92 = 96 x 90 + 96 x 2 = 8640 + 192 = 8832

2) Метод вычитания: 92 x (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832

3) С использованием факторизации: 92 x 6 x 4 x 4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832

4) Вычисление по формуле (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab: 96 x 92 = (90 + 6) x (90 + 2) = (90 + 6 + 2) x 90 + 6 x 2 = 98 x 90 + 6 x 2 = 8820 + 12 = 8832

5) Вычисление по формуле (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab: 96 x 92 = (100 – 4) x (100 – 8) = (100 – 4 – 8) x 100 + 4 x 8 = 88 x 100 + 4 x 8 = 8800 + 32 = 8832

8832 x 100 = 883200

Операцию 4² x 96 также можно выполнить несколькими методами, включая:

1) С использованием факторизации: 4² x 96 = 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536

2) Метод вычитания: 4² x 96 = 16 x (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536

883200 + 1536 = 884736